Strutture e trasformazioni condivise in matematica e musica: dalle categorie alla musicologia / Shared structures and transformations in mathematics and music: From categories to musicology

Mutual influences between science and music, which started with Pythagoras, characterize contemporary musical research, from theory to analysis of performance. Mathematics can connect different fields: in particular, mathematical category theory, and, more in general, diagrammatic thinking, constitutes a powerful tool to analyze processes and transformations between processes. A category is given by objects (points) and transformations between them (arrows), that verify associativity and identity properties. Points and arrows constitute diagrams. A whole category can be seen as a point, and transformations between categories can be represented via arrows. Diagrams where different paths starting from the same object A lead to the same object B, are called commutative. Categories are used to compare and find analogies between mathematical structures and methods, to extract essential and general information. Categories are also used to connect and find similarities within music, and between music and visual arts, even to highlight cognitive-relevant similarities of patterns and gestures. Musical analysis plays a similar role in extracting specific information and non-evident data about structural organization of musical compositions. In this paper, for the first time, we apply categorical thinking to musical analysis. In particular, we contextualize in a mathematical framework a specific analytical methodology proposed in literature, which relates and compares the information that can be separately retrieved from the score analysis (construct) and the listening (salience), with reference to cognition. In general, ‘perceived structures,’ retrieved via listening, are different from ‘built structures,’ retrieved via score analysis. This means that, if we represent each process as a composition of arrows, the final result is not the same object. Thus, the processes of listening and score analysis can be represented as a non- commutative diagram. However, a more in-depth mathematical investigation reveals that, for the same piece, the possible different output values stay all within the same set, that characterizes the musical piece investigated. Moreover, the union of different answers from different listeners defines the piece, and the intersection of listeners’ answers represents the essential elements of the piece. These elements allow the piece’s recognizability through the diversity of performances, performers, and listeners. Finally, diagrams can also be used to investigate a general compositional process from the initial idea to the final piece, with the reconstruction of compositional processes. Mathematical contextualization provides language and visual formalism to be applied independently by the particular composition style. Thus, we can use diagrams to analyze a piece, and to analyze the analytical process itself. The proposed approach allows us to compare: 1. mathematics with music; 2. essential mathematical information with essential musical information; 3. the processes that lead to the extraction of essential information in both fields. Such a ‘filtering’ operation can be used as an analytical tool in the framework of musical analysis, composition study, mathematics study, as well as for the pedagogy of STEAM.

Le mutue influenze tra scienza e musica, iniziate con Pitagora, caratterizzano la ricerca musicale contemporanea, dalla teoria all'analisi della performance. La matematica può collegare campi diversi: in particolare, la teoria matematica delle categorie e, più in generale, il pensiero diagrammatico, costituiscono un potente strumento per analizzare i processi e le trasformazioni tra i processi. Una categoria è data da oggetti (punti) e trasformazioni tra di loro (frecce), che verificano la proprietà associativa e possiedono l’elemento neutro. Punti e frecce costituiscono diagrammi. Un'intera categoria può essere vista come un punto e le trasformazioni tra categorie possono essere rappresentate tramite frecce. Diagrammi dove diversi percorsi che partono dallo stesso oggetto A portano allo stesso oggetto B sono chiamati commutativi. Le categorie vengono utilizzate per confrontare e trovare analogie tra strutture e metodi matematici, per estrarre informazioni essenziali e generali. Le categorie sono anche usate per connettere e trovare somiglianze all'interno della musica e tra musica ed arti visive, anche per evidenziare somiglianze di schemi e gesti rilevanti a livello cognitivo. L'analisi musicale ha un ruolo simile nell’estrapolazione di informazioni specifiche e dati non evidenti dell'organizzazione strutturale delle composizioni musicali. In questo contributo, per la prima volta, applichiamo il pensiero categoriale all'analisi musicale. In particolare, contestualizziamo in un quadro matematico una specifica metodologia analitica proposta in letteratura, che mette in relazione e confronta le informazioni che possono essere evinte separatamente dall'analisi della partitura (costrutto) e dall'ascolto (salienza), con riferimenti alla cognizione. In generale, le "strutture percepite", che emergono all'ascolto, sono diverse dalle "strutture costruite", che emergono dall'analisi della partitura. Ciò significa che, se rappresentiamo ogni processo come una composizione di frecce, il risultato finale non è lo stesso oggetto. Pertanto, i processi di ascolto e analisi della partitura possono essere rappresentati come un diagramma non commutativo. Un'indagine matematica più approfondita rivela tuttavia che, per lo stesso pezzo, i possibili diversi valori di output rimangono tutti all'interno dello stesso insieme, che caratterizza il pezzo musicale analizzato. Inoltre, l'unione delle diverse risposte fornite da diversi ascoltatori definisce il pezzo, e l'intersezione delle risposte fornite dagli ascoltatori rappresenta gli elementi essenziali del pezzo. Questi elementi consentono la riconoscibilità del pezzo attraverso la diversità di esecuzioni, interpreti e ascoltatori. Infine, i diagrammi possono anche essere usati per investigare un processo compositivo generale dall'idea iniziale al pezzo finale, con la ricostruzione dei processi compositivi. La modellizzazione matematica fornisce un linguaggio e un formalismo visivo che può essere applicato indipendentemente dal particolare stile della composizione considerata. Possiamo quindi usare dei diagrammi per analizzare un pezzo e per analizzare il processo analitico stesso. L'approccio proposto ci consente di confrontare: 1. la matematica con la musica; 2. informazioni matematiche essenziali con informazioni musicali essenziali; 3. i processi che portano all'apprezzamento di informazioni essenziali in entrambi i campi. Tale operazione di "filtraggio" può essere utilizzata come strumento analitico nell’ambito dell'analisi musicale, dello studio della composizione, dello studio della matematica e della pedagogia delle STEAM.