L’ipocicloide tricuspide: il duplice approccio di Luigi Cremona ed Eugenio Beltrami

L’ipocicloide tricuspide è uno dei tanti esempi di problemi elementari che hanno attirato grandi matematici, sia che essi abbiano voluto esaminarli approfonditamente, o studiarli soltanto come “amatori”. Tale attrattiva è principalmente motivata da ragioni estetiche, interpretando tale termine da un punto di vista matematico, ovvero la straordinaria capacità di “vedere” con gli occhi della mente le numerose correlazioni, tutt’altro che intuitive, tra fatti, teorie e metodi che suscitano un senso di armonia in chi è in grado di comprenderli, le suggestive “riposte armonie” di Enriques. In questo intervento metteremo in luce, attraverso l’esame dettagliato di un lavoro di Luigi Cremona del 1864 e di due articoli di Eugenio Beltrami, pubblicati nel 1862 e nel 1874, come il senso dell’estetica matematica sia decisamente presente in matematici di tale calibro. Sia Cremona che Beltrami, pur nella diversità di metodo, hanno una visione comune sul far discendere lo studio di un particolare problema elementare (in questo caso l’ipocicloide tricuspide) da principi generali della matematica più avanzata: la teoria delle cubiche, nel caso di Cremona, le trasformazioni quadratiche per quanto riguarda Beltrami. I risultati non differiscono se non per la generalità: Beltrami infatti procede dallo studio generale delle quartiche di terza classe allo specifico dell’ipocicloide, invece Cremona studia direttamente il caso particolare per sottolineare come sia possibile passare a quello generale mediante un’omografia. Tale distinzione di impostazione è strettamente legata alla differenza tra i metodi, sintetico ed analitico, usati dai due, diversità che si evidenzia in modo efficace attraverso la corrispondenza CremonaBeltrami dell’archivio dell’Istituto Mazziniano di Genova. L’analisi dell’ipocicloide tricuspide si situa inoltre come momento di riflessione di Cremona sulla tematica trattata nelle sue opere maggiori del periodo bolognese: lo studio generale delle curve algebriche e quello delle trasformazioni birazionali. Dunque crediamo che, lungi dall’essere limitato ad un problema elementare, lo studio sull’ipocicloide fa da banco di prova per la potenza dei nuovi metodi. Inedito, ma significativo, appare il ruolo giocato da Beltrami in queste riflessioni di Cremona, ruolo che la succitata corrispondenza prova ampiamente. Un’altra caratteristica che risulta evidente dal taglio dato a questi lavori è l’intima compenetrazione che entrambi ritengono debba esserci tra la matematica superiore e la cosiddetta matematica elementare, cosa che si ripeterà più volte nella loro carriera. Ci sembra che valga la pena sottolineare l’interesse dei due autori, nel pieno della loro maturità scientifica, per una tale problematica apparentemente elementare, ma suggestiva per i molteplici e inaspettati contatti con questioni assai diverse, cosa questa che rappresenta il segno distintivo della “bellezza Matematica”