Aspetti storici delle curve relative ad un triangolo: dalla conica per 9 punti alla cubica per 21 punti

Fra le numerose tematiche legate alla cosiddetta “Geometria del triangolo”, di cui si occuparono nel corso dell’Ottocento eminenti matematici, sicuramente quella relativa alla conica dei nove punti è una delle più interessanti. Tale conica è la naturale generalizzazione del cerchio dei nove punti scoperto nel 1822 da Feuerbach. Nel 1844 Jacob Steiner in un articolo apparso in italiano in una piccola rivista romana, generalizza il cerchio di Feuerbach relativo ad un triangolo al concetto di conica dei nove punti, luogo dei centri del fascio di coniche per i tre vertici del triangolo e per un ulteriore punto interno o esterno al triangolo. Nel 1862 Eugenio Beltrami riguarda la conica dei nove punti come immagine di una retta mediante la trasformazione quadratica standard, detta T2. Si vuole puntualizzare che la presentazione all’Accademia delle Scienze dell’Istituto di Bologna della nota di Beltrami precede di circa due mesi l’esposizione di quella più famosa di Luigi Cremona sulle trasformazioni birazionali piane. Successivamente nel 1884 Joseph Neuberg nella sua Mémoire sur le tétraèdre caratterizza la cubica (che prenderà il suo nome) passante per alcuni punti notevoli di un triangolo. Tale cubica legata alla Geometria del triangolo è stata studiata in modo sistematico a partire dal 1924 da Brown, Moore e Neelley (1925), fino alla caratterizzazione del tutto generale effettuata da Coxeter in tempi relativamente recenti (1993 e 1995). Nei lavori di Coxeter la conica per nove punti viene usata per definire una trasformazione che associa ad ogni fascio di rette una cubica, ottenendo la cubica di Neuberg come un caso particolare di tale trasformazione