La conica per nove punti: il contributo di Beltrami. Considerazioni storiche e didattiche

L’avvento dei software di Geometria dinamica ha ridato attualità al valore didattico, ma più in generale formativo, di molti aspetti della Geometria elementare, in voga soprattutto fino ai primi anni dello scorso secolo. Tra i numerosi ed interessanti argomenti di Geometria elementare, intendiamo qui approfondire quello legato alla “conica per nove punti”, soggetto spesso “riscoperto” nel corso del tempo. Lo scopo di questo intervento è duplice: innanzitutto abbiamo provato a ricostruire il reale sviluppo storico dello studio della conica per nove punti, per la sua rilevanza sia sul piano storiografico, sia su quello didattico e divulgativo. In secondo luogo, presentiamo alcune importanti ricerche, oggi quasi del tutto dimenticate, di Eugenio Beltrami, a nostro avviso ricche di risultati assai più profondi rispetto alla maggior parte delle successive “riscoperte” della conica in oggetto. Tali risultati sembrano adatti a una trattazione dell’argomento mediante la Geometria dinamica e quindi a molti aspetti didattici, soprattutto nella formazione dei docenti. Abbiamo quindi scelto di esporre le ricerche di Beltrami cercando di metterne in rilievo gli aspetti connessi con una visione didattica dell’argomento, ampiamente basata sulla disponibilità di software di Geometria dinamica e seguendo, in questo, alcune interessanti suggestioni recenti. La conica per nove punti fu introdotta nel 1844 da Jacob Steiner in un articolo apparso, in italiano, in una rivista romana; fu Nicola Trudi per primo, nel 1856 e poi nel 1863, a fornire le dimostrazioni di alcuni dei teoremi presentati da Steiner, seguito poi da Giuseppe Battaglini, da Pietro Cassani, ma soprattutto da Beltrami. Quest’ultimo, tra il 1862 e il 1874, non solo dimostrò in modo compiuto i risultati di Steiner, ma li generalizzò ed ottenne nuovi risultati completi e molto più profondi di quelli attualmente noti. In particolare ci sembra di grande interesse la sua trattazione della conica attraverso le trasformazioni quadratiche e birazionali, nonché i legami che ne scaturiscono con l’ipocicloide tricuspide.