Non-linear heat transfer beyond Fourier’s Law: analytical and numerical investigations

Recent advances in modern engineering technology have highlighted the limitations of classical models traditionally applied in various fields, such as Fourier’s law for heat conduction, Fick’s law for diffusion, and Newton’s law for viscous flow. These models, while widely accepted, may no longer be adequate for describing certain phenomena, especially in light of the technological progress in micro- and nano-scale devices. At low temperatures, and for processes with very short time scales, deviations from classical laws become increasingly evident. For instance, heat conduction in heterogeneous materials—such as rocks, layered structures, foams, and 3D-printed samples—can be better described using models that go beyond Fourier’s law.The necessity of explaining these phenomena has led to the development of alternative models, a process that began in the mid-20th century and continues to evolve today. Numerous experimental studies have revealed considerable discrepancies between classical laws and observed results. One notable issue with classical theories is that they lead to parabolic-type partial differential equations, which imply that perturbations propagate at infinite velocity—a result that contradicts both experimental evidence and theoretical expectations, as perturbations should propagate at finite speeds. This inconsistency can be addressed by considering the relaxation times of fluxes (such as thermal, diffusion, and momentum fluxes), often referred to as dissipative fluxes. However, the evolution equations for such fluxes are incompatible with classical thermodynamic theories, as they may lead to negative entropy production under certain conditions. To resolve this, the field of Extended Thermodynamics provides a thermodynamically consistent framework for these extended models.This dissertation focuses on heat conduction models that extend beyond Fourier’s law, specifically non-Fourier heat conduction models. The primary aim is to explore generalizations of Fourier’s law by introducing temperature-dependent material parameters, such as thermal conductivity and relaxation time. These assumptions are crucial for accurately modeling phenomena at low temperatures or for small-scale systems, where thermal conductivity is known to vary with temperature. The physical and mathematical foundations of these extended heat conduction models—such as the Cattaneo and Guyer-Krumhansl models—are discussed within the framework of non-equilibrium thermodynamics, providing a powerful basis for non-linear extensions.The study of these non-linear effects is driven by the rapid advancement of technology, which increasingly demands a description of fast and high-frequency processes where such effects become significant. As a result, the design of future micro- and nano-scale devices poses considerable challenges. Understanding heat transport at these scales and proposing modified versions of classical equations—consistent with the second law of thermodynamics—is crucial for facilitating the design of these devices.The deviation from Fourier’s law is also evident at low temperatures and in micro/nano-devices, where phenomena such as second sound behavior emerge. Under these extreme conditions, both thermal conductivity and relaxation time become temperature-dependent, necessitating their inclusion in the Maxwell-Cattaneo-Vernotte model. The effects of these nonlinearities are explored through numerical solutions of one- and two-dimensional heat pulse experiments, using a staggered field finite difference method.Furthermore, deviations from Fourier’s law are also observed in inhomogeneous materials, such as rocks and metal foams. The Fourier hierarchy derived from the Guyer-Krumhansl equation provides a physical interpretation of these observed phenomena. Initially, we investigate the impact of nonlinear thermal conductivity and relaxation time by solving the one-dimensional Guyer-Krumhansl equation. We then focus on the implications of whirling heat current density, solving the two-dimensional Guyer-Krumhansl equation with space- and time-dependent heat pulse boundary conditions, again using a staggered scheme.Special emphasis is placed on the transient evolution, which reveals unique local temperature reduction effects due to heat current vorticity. These effects are only observable during the transient phase, where the evolving heat current vorticity induces a local temperature decrease relative to the initial state. The numerical resolution of this problem introduces additional challenges, particularly regarding boundary conditions, for which we propose a specific extrapolation method. Additionally, using Helmholtz decomposition, we establish an analogy with the linearized acoustics of Newtonian fluids, illustrating how the heat flux density mirrors the role of the velocity field. Our solutions also uncover an unexpected temperature behavior induced by the whirling heat flux density: under certain conditions, the temperature can locally decrease for a short period when the curl of the heat flux density dominates the heat conduction process.Finally, we explore potential applications of non-Fourier-type equations, ranging from biological tissue modeling to laser welding processes. In particular, we present a hyperbolic heat transport model for homogeneously perfused biological tissue irradiated by a laser beam. This non-Fourier-like bioheat equation is solved analytically using the Laplace transform method. Subsequently, we present numerical results obtained from a welding laser process on a metal plate, modeled using Fourier’s law. Special attention is given to possible future extensions of this model by incorporating relaxation times and temperature-dependent material parameters.In this work, we apply the same modeling framework to heat propagation phenomena at both low and room temperatures, covering artificial and natural test samples, as well as biological tissues.

I recenti progressi nella tecnologia dell’ingegneria moderna hanno evidenziato i limiti dei modelli classici tradizionalmente applicati in vari campi, come la legge di Fourier per la conduzione del calore, la legge di Fick per la diffusione e la legge di Newton per il flusso viscoso. Questi modelli, sebbene ampiamente accettati, possono non essere più adeguati per descrivere determinati fenomeni, soprattutto alla luce dei progressi tecnologici nei dispositivi su scala micro e nano. A basse temperature e per processi su scale temporali molto brevi, le deviazioni dalle leggi classiche diventano sempre più evidenti. Ad esempio, la conduzione del calore in materiali eterogenei—come rocce, strutture a strati, schiume e campioni stampati in 3D—può essere descritta meglio utilizzando modelli che vanno oltre la legge di Fourier.La necessità di spiegare questi fenomeni ha portato allo sviluppo di modelli alternativi, un processo iniziato a metà del XX secolo e che continua ad evolversi. Numerosi studi sperimentali hanno rivelato notevoli discrepanze tra le leggi classiche e i risultati osservati. Uno dei problemi principali delle teorie classiche è che portano a equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico, le quali implicano che le perturbazioni si propaghino a velocità infinita, un risultato che contraddice sia le evidenze sperimentali che le aspettative teoriche, poiché le perturbazioni dovrebbero propagarsi a velocità finite. Questa incongruenza può essere affrontata considerando i tempi di rilassamento dei flussi (come il flusso termico, di diffusione e di quantità di moto), spesso definiti flussi dissipativi. Tuttavia, le equazioni di evoluzione per tali flussi sono incompatibili con le teorie classiche della termodinamica, poiché possono portare a una produzione di entropia negativa in determinate condizioni. Per risolvere questo problema, il campo della Termodinamica Estesa fornisce un quadro termodinamicamente coerente per questi modelli estesi.Questo elaborato si concentra su modelli di conduzione del calore che vanno oltre la legge di Fourier, in particolare su modelli di conduzione del calore non-Fourier. L’obiettivo principale è esplorare generalizzazioni della legge di Fourier introducendo parametri del materiale dipendenti dalla temperatura, come la conducibilità termica e il tempo di rilassamento. Queste assunzioni sono fondamentali per modellare accuratamente fenomeni a basse temperature o in sistemi di piccola scala, dove la conducibilità termica varia con la temperatura. Le basi fisiche e matematiche di questi modelli estesi di conduzione del calore—come i modelli di Cattaneo e Guyer-Krumhansl—sono discusse nell’ambito della termodinamica del non-equilibrio, fornendo una solida base per le estensioni non lineari.Lo studio di questi effetti non lineari è guidato dai rapidi progressi della tecnologia, che richiedono sempre più una descrizione dei processi rapidi e ad alta frequenza in cui tali effetti diventano significativi. Di conseguenza, la progettazione dei futuri dispositivi su scala micro e nano pone considerevoli sfide. Comprendere il trasporto del calore a queste scale e proporre versioni modificate delle equazioni classiche—coerenti con la seconda legge della termodinamica—è cruciale per facilitare la progettazione di questi dispositivi.La deviazione dalla legge di Fourier è evidente anche a basse temperature e nei micro/nano dispositivi, dove emergono fenomeni come il "secondo suono". In queste condizioni estreme, sia la conducibilità termica che il tempo di rilassamento diventano dipendenti dalla temperatura, rendendo necessaria la loro inclusione nel modello di Maxwell-Cattaneo-Vernotte. Gli effetti di queste non linearità vengono esplorati attraverso soluzioni numeriche di esperimenti con impulsi termici in una e due dimensioni, utilizzando un metodo alle differenze finite dei campi shiftati.Inoltre, le deviazioni dalla legge di Fourier si osservano anche in materiali in omogenei, come rocce e schiume metalliche. La gerarchia di Fourier derivata dall’equazione di Guyer-Krumhansl fornisce un’interpretazione fisica di questi fenomeni osservati. Inizialmente, si indaga sull’impatto della conducibilità termica non lineare e del tempo di rilassamento risolvendo l’equazione di Guyer-Krumhansl in una dimensione. Successivamente, ci si concentra sulle implicazioni della densità di corrente di calore vorticosa, risolvendo l’equazione di Guyer-Krumhansl in due dimensioni con condizioni al contorno dipendenti dallo spazio e dal tempo, ancora una volta utilizzando uno schema dei campi shiftati. Un’enfasi particolare è posta sull’evoluzione transitoria, che rivela effetti unici di riduzione della temperatura locale dovuti alla vorticità del flusso di calore. Questi effetti sono osservabili solo durante la fase transitoria, in cui la vorticità del flusso di calore in evoluzione induce una diminuzione della temperatura locale rispetto allo stato iniziale. La risoluzione numerica di questo problema introduce ulteriori sfide, in particolare per quanto riguarda le condizioni al contorno, per le quali proponiamo un metodo specifico di estrapolazione. Inoltre, utilizzando la decomposizione di Helmholtz, si stabilisce un’analogia con l’acustica linearizzata dei fluidi newtoniani, illustrando come la densità di flusso di calore rispecchi il ruolo del campo di velocità. Le nostre soluzioni rivelano anche un comportamento inaspettato della temperatura indotto dalla densità di flusso di calore vorticosa: in determinate condizioni, la temperatura può diminuire localmente per un breve periodo quando il rotore della densità di flusso di calore domina il processo di conduzione del calore.Infine, esploriamo potenziali applicazioni delle equazioni di tipo non-Fourier, che spaziano dalla modellazione di tessuti biologici ai processi di saldatura laser. In particolare, presentiamo un modello di trasporto del calore iperbolico per tessuti biologici perfusi omogeneamente e irradiati da un raggio laser. Questa equazione bio-heat di tipo non-Fourier è risolta analiticamente utilizzando il metodo della trasformata di Laplace. Successivamente, presentiamo i risultati numerici ottenuti da un processo di saldatura laser su una piastra metallica, modellato utilizzando la legge di Fourier. Si presta particolare attenzione alle possibili estensioni future di questo modello, incorporando tempi di rilassamento e parametri del materiale dipendenti dalla temperatura.In questo lavoro, applichiamo lo stesso quadro di modellazione ai fenomeni di propagazione del calore sia a basse che a temperature ambiente, coprendo campioni artificiali e naturali, così come tessuti biologici.