MODULI DI BANACH SU C*-ALGEBRE: Rappresentazioni Hilbertiane ed in spazi Lp non commutativi

La teoria delle *-rappresentazioni delle *-algebre localmente convesse o normate costituisce un argomento classico di cui dà conto una vasta letteratura. Le C*- algebre costituiscono sicuramente la classe di *-algebre di Banach per la quale la teoria delle rappresentazioni fornisce, probabilmente, i risultati più profondi ed importanti per le applicazioni. Nel 1964 R. Haag e D. Kastler formularono, in un celebre lavoro, il cosiddetto approccio algebrico alle teorie quantistiche per sistemi con infiniti gradi di libertà. In esso, ad una regione limitata dello spazio delle configurazioni del sistema, si associa la C*-algebra delle osservabili locali. L’unione di tutte queste C*-algebre costistuice la C*-algebra delle osservabili del sistema. Sul finire degli anni ’80, G.Lassner introdusse la nozione di quasi *-algebra nel tentativo di ampliare l’approccio di Haag e Kastler a sistemi fisici le cui osservabili, per la loro stessa natura, non si possono pensare come elementi di una C*-algebra. Un esempio tipico di quasi *-algebra è fornito dal completamento di una *-algebra localmente convessa la cui moltiplicazione non è congiuntamente continua. Se le rappresentazioni di C*-algebre coinvolgono solo *-algebre di operatori limitati, non altrettanto può dirsi per altre classi di *-algebre, anche normate o di quasi *-algebre. Nell’ ambito della linea di ricerca brevemente descritta sopra considereremo, nella prima sezione, una costruzione del tipo GNS per i moduli di Banach su C*-algebre nel tentativo di dare una rappresentazione di questi oggetti. Nella seconda parte orienteremo la nostra discussione su una certa classe di C*-bimoduli di Banach, chiamati CQ*-algebre. Dimostreremo un teorema di rappresentazione di un certo rilievo: ogni CQ*-algebra fortemente *-semisemplice può essere rappresentata da una CQ*-algebra di operatori misurabili nel senso di Segal. Chiaramente, questo lavoro non vuole fornire una esposizione dettagliata delle idee sopra delineate e per maggiori dettagli rinviamo ai lavori [1], [2], [3], [4], [5].