Le Geometrie dei numeri duali

I numeri duali furono introdotti per la prima volta da William Kingdon Clifford (1845-1879) nel 1873, come estensione dei quaternioni (biquaternioni), nell’ambito dello studio dei numeri ipercomplessi. In seguito, furono chiamati così da Eduard Study (1862-1930) [Study 1902], il quale ne fece poi oggetto di studio [Study 1903]. Già nel 1885 Arthur Buchheim (1859-1888) [Buchheim 1885], aveva rintracciato l’origine dei duali in Clifford e si era soffermato sulla (sostanziale) differenza tra l’introduzione dei biquaternioni in Hamilton e in Clifford. Nel 1906, in perfetto accordo alle teorie esposte da Study nel 1903, Joseph Grünwald (1876-1911), introdusse i numeri duali come u+vε, dove u e v sono numeri complessi e ε2= 0 e vi costruì una geometria proiettiva. Nel 1911 Corrado Segre (1863-1924) pubblicava un articolo che prendeva le mosse dall’idea di estendere ciò che aveva fatto Pilo Predella (1863-1939) in un suo articolo [Predella 1911] pubblicato appena prima e che consisteva nel porre le basi per lo sviluppo di una geometria i cui elementi (o punti in un nuovo senso) sono le omografie paraboliche (trasformazioni con punti uniti coincidenti) di rette punteggiate; lo scopo di tale articolo era quello di sviluppare in modo nuovo le geometrie non archimedee di Veronese. Era ovviamente noto a Segre che la geometria delle dinami (quella di Study del 1903) faceva uso dei numeri duali, e che essi erano stati oggetto di alcuni lavori di Grünwald. Egli però, nel confrontare l’idea di Predella con quella che era stata circa 60 anni prima di Staudt, cioè di introdurre gli elementi immaginari come involuzioni ellittiche di punti sopra forme di prima specie, si chiese se esistessero altre e diverse proiettività che portino alla costruzione di nuove geometrie e a sistemi più generali di numeri complessi. L’articolo che Segre scrisse nel 1911 è diviso in due note; la prima introduce la teoria dei numeri duali generalizzati che viene estesa ai punti duali, ai piani duali e alle rette duali; nella seconda viene sviluppata la teoria delle rappresentazioni geometriche dei punti del campo binario duale (la retta duale) sui punti di una quadrica, quindi sono definiti i protofili, i legami lineari fra punti duali, le proiettività e le antiproiettività nel campo duale. In questa comunicazione analizzeremo e confronteremo le varie geometrie sui duali e illustreremo la prosecuzione di questi studi nel primo dopoguerra della prima guerra mondiale.