Dall'inversione alle trasformazioni quadratiche

Dall'inversione alle trasformazioni quadratiche Aldo Brigaglia (Università di Palermo) brig@math.unipa.it La inversione (o trasformazione per raggi vettori reciproci) è da considerarsi la prima trasformazione birazionale (non lineare) entrata in modo stabile nel novero di quelle trattate dai matematici. La stessa sua naturalezza ha reso nebulosa l’origine di questo concetto. In effetti si tratta della trasformazione che, fissato un punto A e un segmento r, associa ad ogni punto B il punto B’ sulla semiretta AB tale che AB’ sia il terzo proporzionale tra AB e r. Costruzioni di punti di questo genere sono presenti assai spesso: p. es. nella proiezione stereografica, in cui r è il diametro della sfera, A è il polo da cui si proietta, B e B’ sono rispettivamente un punto sulla sfera e il suo proiettato nel piano; tali costruzioni sono poi presenti nei classici problemi apolloniani dei Contatti ed usate esplicitamente da Viéte nel suo Apollonius Gallus. Naturalmente fasi completamente diverse saranno quelle in cui si passa da una visione statica della costruzione di B’ alla considerazione della trasformazione presa nella sua globalità, all’individuazione delle sue proprietà fondamentali (l’essere una “trasformazione circolare” e conforme), e infine l’essere una trasformazione antilineare nella retta proiettiva complessa e le sue connessioni con le forme hermitiane. Mio scopo in questa comunicazione è quello di vedere come un concetto assai semplice ed elementare quale quello di inversione circolare possa attraverso successive generalizzazioni ed approfondimenti, connettersi a concetti assai più profondi, dar luogo a idee del tutto nuove (quali quelle di trasformazione geometrica generale, di trasformazione birazionale o di forme hermitiane). Esaminerò in particolare il contributo di Bellavitis in questa direzione, nel quadro di un progetto di ricerca del gruppo di Palermo, mirante ad approfondire le origini storiche del concetto di trasformazione birazionale. Bibliografia: G. Bellavitis, Saggio di geometria derivata, Nuovi Saggi della Imperial Regia Accademia di Scienze Lettere ed Arti di Padova, IV, 1838, pp. 243 – 288; B. Patterson, The origin of the geometric principle of inversion, Isis, 19, 1933, pp. 154 – 180; F. Viète, Apollonius Gallus, Paris, 1600. L’uso del Computer come str