Applicazione di tecniche numeriche meshless per la soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali a coefficienti variabili nello spazio e nel tempo relative ai fenomeni termici di conduzione del calore osservati durante la surgelazione degli alimenti

Uno dei più importanti impieghi della tecnologia del freddo è nella surgelazione degli alimenti al fine di rallentarne il deterioramento dovuto all’azione di enzimi e microorganismi e di preservarne la qualità nutrizionale e la durata. In genere una rapida diminuzione della temperatura degli alimenti durante il congelamento garantisce un rallentamento delle reazioni chimiche, fisiche e biochimiche tale da garantire una buona qualità del prodotto surgelato. Di contro, il rapido abbattimento della temperatura ha certo un costo più oneroso da sostenere per la produzione industriale. L’obiettivo che il presente lavoro di ricerca si prefigge è quello di sviluppare un modello matematico in grado di descrivere con alto grado di precisione l’evoluzione temporale dello stato termico degli alimenti sottoposti ad un processo di congelazione rapida. Così facendo, è possibile dimensionare gli impianti di congelamento in modo da determinare un giusto compromesso tra la surgelazione rapida e l’economia di industrializzazione, senza però penalizzare la qualità e la durata dei prodotti. Le difficoltà maggiori che si incontrano nell’utilizzo di un modello matematico per descrivere il fenomeno termico del congelamento delle derrate alimentari sono dovute alla complessità e non linearità della struttura delle equazioni differenziali che descrivono detto fenomeno fisico. Tali equazioni, oltre a non avere una risoluzione analitica nella quasi generalità dei casi, sono di tipo fortemente non lineare poiché i coefficienti che in esse compaiono sono funzione del campo di temperature incognito che si vuol calcolare per un determinato istante. Tradizionalmente i metodi utilizzati per la risoluzione delle equazioni in esame sono quelli alle differenze finite, agli elementi finiti o ai volumi finiti e richiedono l’utilizzo di una mesh per la risoluzione numerica dei sistemi ottenuti. Visto però che le mesh sono costose e complesse da realizzare, negli ultimi anni si è registrato un crescente interesse nello studio di metodi di tipo meshless. Il lavoro di ricerca fino ad oggi svolto, coerentemente con gli ultimi sviluppi delle ricerche matematiche in tema di risoluzione di equazioni PDEs (Partial Differential Equations), si è incentrato sull’utilizzo delle metodologie di tipo meshless che utilizzano il metodo dell’interpolazione hermitiana basata su funzioni del tipo RBFs (Radial Basic Functions). Il modello matematico meshless messo a punto per lo studio del fenomeno termico della congelazione rapida degli alimenti è stato poi implementato con routine di calcolo numerico in linguaggio di programmazione Fortran 90. Nel programma sono state 7 implementate, tra le altre cose, una funzione RBF del quarto ordine (detta anche thin plate spline), le approssimazioni di Comina, Bonacina e Toffan (1973) per la capacità e conducibilità termica degli alimenti, e un algoritmo iterativo che viene calcolato per ogni timestep in cui viene suddiviso il periodo di osservazione del fenomeno fisico e che utilizza il metodo di Crank-Nicolson per l’approssimazione dell’operatore derivata in funzione della soluzione del sistema di equazioni ad un istante precedente. Per la validazione del modello matematico implementato sono state effettuate diverse simulazioni su un modello di purea di patata sottoposto al processo di congelazione rapida, rilevandone la temperatura in sezioni diverse al variare delle condizioni al contorno imposte. Gli andamenti della temperatura simulati sono stati confrontati con le temperature rilevate sperimentalmente su un provino di purea di patate di simmetria sferica e densità omogenea sottoposto al processo di surgelazione in laboratorio. La rilevazione delle temperature è stata acquisita tramite delle termocoppie rame-costantana, posizionate in punti diversi del provino in esame e collegate ad un data logger a sua volta connesso ad un personal computer per la registrazione nel tempo dei dati rilevati. Per la cella frigorifera è stato utilizzato lo scomparto a bassa temperatura di un armadio frigorifero presente in laboratorio in grado di mantenere al suo interno una temperatura di -30°C. Per lo studio termico ci si è limitati all’analisi della forma semisferica e si è resa adiabatica la base della semisfera attraverso l’utilizzo di un idoneo spessore di isolante termico su cui è stato posizionato il modello in studio. Si è deciso di misurare le temperature dei prodotti sia al centro della semisfera che ad intervalli di 10 mm, a partire dal centro stesso, su due raggi tra loro ortogonali. La prima condizione al contorno che è stata considerata è quella del primo tipo (di Dirichlet), che impone ad ogni singolo timestep la temperatura della superficie del provino ottenuta dalla media di valori di temperatura registrati dalle termocoppie durante i rilievi sperimentali. Il limite della condizione al contorno di cui sopra è la mancanza di flessibilità nel caso di un reale processo industriale di surgelazione durante il quale non è agevole ricavare la temperatura sulla superficie degli alimenti. Per poter utilizzare la simulazione con un grado di flessibilità maggiore in un contesto di tipo reale è stata quindi considerata una condizione al contorno del terzo tipo (di Robin). Questa condizione, che è quella legata al moto convettivo tra le pareti della cella frigorifera e il provino considerato, viene imposta considerando la temperatura rilevata in prossimità del campione e utilizzando 8 nel calcolo del coefficiente convettivo opportune relazioni sperimentali, ricavate dalla letteratura scientifica sull’argomento. In particolare l’algoritmo utilizzato prevede, rispetto al precedente, il calcolo all’interno di ogni timestep prima del numero di Rayleigh e poi, tramite la correlazione sperimentale, il calcolo del numero di Nusselt per risalire infine a una una stima del coefficiente convettivo da utilizzare nella condizione del terzo tipo. I risultati ottenuti dalle simulazioni con entrambe le condizioni al contorno sono stati validati utilizzando i rilievi di temperatura ottenuti nel caso reale. Nella fattispecie, la comparazione delle temperature stimate con il programma con quelle reali misurate dà una buona validazione della accuratezza dei risultati ottenuti dalle simulazioni, ancora più significativi se si tiene conto della grossa variazione delle proprietà termiche degli alimenti durante il cambiamento di fase.