Le Geometrie dei numeri duali

I numeri duali furono introdotti per la prima volta da William Kingdon Clifford (1845-1879) nel 1873, come estensione dei quaternioni (biquaternioni), nell'ambito dello studio dei numeri ipercomplessi. In seguito, furono chiamati così da Eduard Study (1862-1930), il quale ne fece poi oggetto di studio. Già nel 1885 Arthur Buchheim (1859-1888), aveva rintracciato l'origine dei duali in Clifford e si era soffermato sulla dfferenza tra l'introduzione dei biquaternioni in Hamilton e in Clifford. Nel 1906, in perfetto accordo alle teorie esposte da Study nel 1903, Joseph Grünwald (1876-1911), introdusse i numeri duali come u+ve, dove u e sono numeri complessi e 2 = 0 e vi costruì una geometria proiettiva. Nel 1911 Corrado Segre (1863-1924) pubblicava un articolo che prendeva le mosse dall'idea di estendere ciò che aveva fatto Pilo Predella (1863-1939) in un suo articolo pubblicato appena prima e che consisteva nel porre le basi per lo sviluppo di una geometria i cui elementi (o punti in un nuovo senso) sono le omograe paraboliche (trasformazioni con punti uniti coincidenti) di rette punteggiate; lo scopo di tale articolo era quello di sviluppare in modo nuovo le geometrie non archimedee di Veronese. Era ovviamente noto a Segre che la geometria delle dinami diStudy 1903 faceva uso dei numeri duali, e che essi erano stati oggetto di alcuni lavori di Grünwald. Egli però, nel confrontare l'idea di redella con quella che era stata circa 60 anni prima di Staudt, cioè di introdurre gli elementiimmaginari come involuzioni ellittiche di punti sopra forme di prima specie, si chiese se esistessero altre e diverse proiettività che portino alla costruzione di nuove geometrie e a sistemi più generali di numeri complessi. l'articolo che Segre scrisse nel 1911 è diviso in due note; la prima introduce la teoria dei numeri duali generalizzati che viene estesa ai punti duali, ai piani duali e alle rette duali; nella seconda viene sviluppata la teoria delle rappresentazioni geometriche dei punti del campo binario duale (la retta duale) sui punti di una quadrica, quindi sono deniti i protoli, i legami lineari fra punti duali, le 5.roiettività e le antiproiettività nel campo duale.