Frequenze naturali di cilindri a parete sottile e bordi incastrati

Questa breve relazione presenta i risultati di una ricerca riguardante il problema delle vibrazioni dei cilindri a parete sottile e bordi incastrati. L’obiettivo principale non era tanto quello di studiare il modo di vibrare di questi elementi, poiché già piuttosto noto, ma di formulare un nuovo modello matematico per calcolarne le frequenze proprie. Non c’erano infatti modelli in letteratura che fossero allo stesso tempo accurati e semplici da utilizzare. I modelli accurati richiedevano complesse tecniche numeriche di risoluzione, quelli analitici non erano accurati abbastanza (errori massimi dell’ordine del 40% per i modelli analitici più precisi). Il nuovo modello sviluppato, note le caratteristiche geometriche e meccaniche del cilindro, fornisce le frequenze naturali attraverso una sequenza di equazioni algebriche esplicite. Tuttavia, dal confronto con dati numerici e sperimentali di letteratura, risulta uno scarto massimo, rispetto alla soluzione esatta, inferiore al 10% per tutti i modi di vibrare comparabili e meno del 5% sulla frequenza più bassa, rispetto ai dati sperimentali. Si candida quindi ad essere uno strumento ideale per gli ingegneri che devono progettare elementi ad essi assimilabili. L’equazione delle frequenze è stata ottenuta combinando le equazioni di equilibrio indefinite classiche (versione di Reissner della teoria di Love con le assunzioni di Donnell), il principio di Hamilton ed una appropriata costruzione delle autofunzioni (Fig.1). Quest’ultime, in particolare, sono state formulate partendo dall’osservazione che la forma delle onde circonferenziali non dipende dalle condizioni al contorno mentre quella delle semionde longitudinali sì e somiglia alle vibrazioni flessionali delle travi soggette agli stessi vincoli. Pertanto è stata assegnata allo spostamento radiale una autofunzione del tipo cos cos, con fr(x) simile all’autofunzione della trave soggetta agli stessi vincoli (in realtà sono state utilizzate due autofunzioni differenti per le semionde pari e per quelle dispari al fine di rendere più agevole le manipolazioni matematiche successive). Le autofunzioni relative agli spostamenti assiali ux e tangenziali us sono state ricavate invece imponendo la mutua ortogonalità tra le autofunzioni. Mediante le equazioni di equilibrio indefinite di Reissner e le autofunzioni prima definite è stato quindi calcolato il lavoro virtuale sull’elemento infinitesimo, poi sull’intero volume ed infine si è imposta la stazionarietà dell’azione di Hamilton. In questo modo, dopo varie manipolazioni matematiche, si è pervenuti ad una equazione della frequenza le cui costanti dipendono esclusivamente e direttamente dalle proprietà geometriche e meccaniche del cilindro. Sulla scorta di questa procedura è già stato sviluppato un altro modello più generale valido per le più comuni condizioni di vincolo. Allo stato, esso è ancora in fase di validazione.